Vamos lá!
Este texto é um resumo de um curso que ministrei em Guaratinguetá em 2004. Boa leitura!
Introdução
Não existem regras rígidas que garantam sucesso na solução de problemas. Porém, é possível esboçar alguns passos gerais no processo problema-resolução e fornecer alguns princípios que poderão ser úteis na solução de certos problemas. Esses passos e princípios são tão-somente o senso comum tornado explícito.
Entendendo o Problema
O primeiro passo é ler o problema e assegurar-se de que o entendeu claramente. Faça a si mesmo as seguintes perguntas:
O que é desconhecido? Quais são as variáveis dadas? Quais são as condições dadas?
Torna-se muito proveitoso, em alguns casos, fazer um diagrama e identificar as variáveis dadas e pedidas.
Usualmente é necessário introduzir uma notação apropriada e, ao escolher os símbolos para as variáveis desconhecidas freqüentemente usamos letras latinas ou gregas, mas em alguns casos ajuda usar as iniciais como símbolos sugestivos; por exemplo, V para o volume ou t para o tempo.
Planejando
Encontre uma conexão entre a informação dada e a pedida que o ajudará a encontrar a desconhecida. Em geral ajuda perguntar-se explicitamente: “Como posso relacionar o que foi dado com o que foi pedido?”. Se não foi possível visualizar a conexão imediatamente, as idéias que se seguem podem ser úteis para delinear um diagrama.
1. Tente reconhecer algo familiar, relacione a situação dada com seu conhecimento anterior. Focalize na incógnita e tente lembrar um problema mais familiar envolvendo a mesma.
2. Tente reconhecer padrões, alguns problemas são resolvidos reconhecendo-se o tipo padrão no qual ocorre. O padrão no qual ocorre. O padrão pode ser geométrico, numérico ou algébrico. Você pode ver regularidade ou repetição em um problema ou ser capaz de conjecturar sobre o padrão de seu desenvolvimento para depois prová-lo.
3. Use analogias, pense sobre problemas análogos, isto é, um problema similar, um problema relacionado, mas que seja mais simples, isso poderá lhe dar pistas para a solução do problema original, mais difícil. Por exemplo, se um problema envolver números muito grandes, você poderá primeiro tentar um problema similar com números menores. Caso o problema envolva geometria tridimensional, você poderá tentar primeiro um problema similar bidimensional. Se seu problema for genérico, tente primeiro um caso especial.
4. Introduza uma ajuda extra, às vezes pode ser necessário introduzir algo novo, um auxílio extra, para que você faça a conexão entre o que foi dado e o que foi pedido. Por exemplo, em um problema onde o diagrama é fundamental, a ajuda pode ser o traçado de uma nova reta. Em problemas algébricos pode ser a introdução de uma variável adicional relacionada com a original.
5. Dividir o problema em casos, utilizando em cada um deles um argumento diferente. Por exemplo, usamos essa estratégia quando tratamos de algumas equações modulares.
Trabalhando retroativamente, podemos imaginar que seu problema foi resolvido e trabalhar passo a passo retroativamente até chegar no que foi dado. E então você será capaz de reverter seus passos e portanto construir uma solução para o problema original. Esse procedimento é utilizado na solução de algumas equações.
6. Ao estabelecer submetas em um problema complexo é freqüentemente proveitoso estabelecer submetas (nas quais a situação inicial está somente parcialmente satisfeita). Você pode atingir primeiro essas submetas e depois, a partir delas, chegar a meta final.
O raciocínio indireto e a indução matemática serão tópicos analisados a posteriori, em métodos especiais para resolução de problemas.
Cumprindo o plano ( A “calculeira” propriamente dita )
Na etapa anterior um plano foi delineado. Para cumpri-lo devemos verificar cada etapa do plano e escrever (ou calcular) os detalhes de cada uma delas.
Revendo as etapas cumpridas
Tendo completado a solução, é prudente revisa-la, em parte para ver se foram cometidos erros e em parte para ver se podemos descobrir uma forma mais fácil de resolver o problema. Uma outra razão para a revisão é que ela nos familiarizará com o método de resolução que poderá ser útil na solução de problemas futuros. René Descartes disse certa vez: “Todo problema que resolvi acabou tornando-se uma regra que serviu posteriormente para resolver outros problemas”.
Analisando a solução encontrada
É válido, sempre que possível, fazer a prova da resposta encontrada e analisá-la no contexto do problema em questão, para então escrever a solução do problema.
Métodos especiais para resolução de problemas
Há problemas que só podem ser resolvidos por métodos especiais, sem os quais sua resolução tornar-se-ia impossível.
1. Raciocínio Indireto: Algumas vezes é apropriado analisar o problema indiretamente. Para provar relações por contradição que P implica Q, supomos que P e Q são falsos e tentamos mostrar por que isso não pode acontecer. De certa forma temos de usar essa informação e chegar a uma contradição do que sabemos perfeitamente ser verdadeiro.
2. Indução Matemática: Para provar afirmações que envolvem um número inteiro positivo n, é freqüentemente útil usar o princípio que se segue.
Seja Sn uma afirmação sobre um número inteiro n. Suponha que:
a) S1 é verdadeira.
b) Sk+1 é verdadeira sempre que Sk for verdadeira.
Então Sn é verdadeira para todo n positivo.
RAFAEL PAIXÃO
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