Ao que é perene!

Tô pensando em vc faz um bom tempo...
Na verdade tô pensando em nós!
Penso em cada instante:
os mágicos, os especiais e os cotidianos...
Penso em cada vez que te vi sorrir...
penso no dia que te ouvi chorar,
penso até em dias que hão de vir!
Não sei se posso parar o mundo...
mas se eu pudesse...
Pararia os ponteiros em um desses
finais-de-semana e então ficaria aí...
Ou aqui... Tanto faz!!!
O importante seria estarmos eu no outro...
O importante seria um olhar eterno...
O importante é o que é perene...
Só ele há de restar!
Que bom é saber que existe o nosso amor!

Rafael Paixão
Poema Registrado

2° ano - COC

01. Calcular o valor numérico do polinômio P(x) = x³ - 7x² + 3x - 4 para x = 2.

02. Determinar os valores reais de a e b para que o polinômio x³ + 6x² + ax + b seja um cubo perfeito.

Resolução de Problemas

Este assunto é inerente ao trabalho de um professor de Matemática. Acho interessante que muitas pessoas passem 12 anos estudando Matemática (ensino fundamental + ensino médio) e não tenham claramente estes passos em sua prática como "resolvedor de problemas".
Vamos lá!
Este texto é um resumo de um curso que ministrei em Guaratinguetá em 2004. Boa leitura!

Introdução

Não existem regras rígidas que garantam sucesso na solução de problemas. Porém, é possível esboçar alguns passos gerais no processo problema-resolução e fornecer alguns princípios que poderão ser úteis na solução de certos problemas. Esses passos e princípios são tão-somente o senso comum tornado explícito.

Entendendo o Problema

O primeiro passo é ler o problema e assegurar-se de que o entendeu claramente. Faça a si mesmo as seguintes perguntas:

O que é desconhecido? Quais são as variáveis dadas? Quais são as condições dadas?

Torna-se muito proveitoso, em alguns casos, fazer um diagrama e identificar as variáveis dadas e pedidas.

Usualmente é necessário introduzir uma notação apropriada e, ao escolher os símbolos para as variáveis desconhecidas freqüentemente usamos letras latinas ou gregas, mas em alguns casos ajuda usar as iniciais como símbolos sugestivos; por exemplo, V para o volume ou t para o tempo.

Planejando

Encontre uma conexão entre a informação dada e a pedida que o ajudará a encontrar a desconhecida. Em geral ajuda perguntar-se explicitamente: “Como posso relacionar o que foi dado com o que foi pedido?”. Se não foi possível visualizar a conexão imediatamente, as idéias que se seguem podem ser úteis para delinear um diagrama.

1. Tente reconhecer algo familiar, relacione a situação dada com seu conhecimento anterior. Focalize na incógnita e tente lembrar um problema mais familiar envolvendo a mesma.

2. Tente reconhecer padrões, alguns problemas são resolvidos reconhecendo-se o tipo padrão no qual ocorre. O padrão no qual ocorre. O padrão pode ser geométrico, numérico ou algébrico. Você pode ver regularidade ou repetição em um problema ou ser capaz de conjecturar sobre o padrão de seu desenvolvimento para depois prová-lo.

3. Use analogias, pense sobre problemas análogos, isto é, um problema similar, um problema relacionado, mas que seja mais simples, isso poderá lhe dar pistas para a solução do problema original, mais difícil. Por exemplo, se um problema envolver números muito grandes, você poderá primeiro tentar um problema similar com números menores. Caso o problema envolva geometria tridimensional, você poderá tentar primeiro um problema similar bidimensional. Se seu problema for genérico, tente primeiro um caso especial.

4. Introduza uma ajuda extra, às vezes pode ser necessário introduzir algo novo, um auxílio extra, para que você faça a conexão entre o que foi dado e o que foi pedido. Por exemplo, em um problema onde o diagrama é fundamental, a ajuda pode ser o traçado de uma nova reta. Em problemas algébricos pode ser a introdução de uma variável adicional relacionada com a original.

5. Dividir o problema em casos, utilizando em cada um deles um argumento diferente. Por exemplo, usamos essa estratégia quando tratamos de algumas equações modulares.

Trabalhando retroativamente, podemos imaginar que seu problema foi resolvido e trabalhar passo a passo retroativamente até chegar no que foi dado. E então você será capaz de reverter seus passos e portanto construir uma solução para o problema original. Esse procedimento é utilizado na solução de algumas equações.

6. Ao estabelecer submetas em um problema complexo é freqüentemente proveitoso estabelecer submetas (nas quais a situação inicial está somente parcialmente satisfeita). Você pode atingir primeiro essas submetas e depois, a partir delas, chegar a meta final.

O raciocínio indireto e a indução matemática serão tópicos analisados a posteriori, em métodos especiais para resolução de problemas.

Cumprindo o plano ( A “calculeira” propriamente dita )

Na etapa anterior um plano foi delineado. Para cumpri-lo devemos verificar cada etapa do plano e escrever (ou calcular) os detalhes de cada uma delas.

Revendo as etapas cumpridas

Tendo completado a solução, é prudente revisa-la, em parte para ver se foram cometidos erros e em parte para ver se podemos descobrir uma forma mais fácil de resolver o problema. Uma outra razão para a revisão é que ela nos familiarizará com o método de resolução que poderá ser útil na solução de problemas futuros. René Descartes disse certa vez: “Todo problema que resolvi acabou tornando-se uma regra que serviu posteriormente para resolver outros problemas”.

Analisando a solução encontrada

É válido, sempre que possível, fazer a prova da resposta encontrada e analisá-la no contexto do problema em questão, para então escrever a solução do problema.

Métodos especiais para resolução de problemas

Há problemas que só podem ser resolvidos por métodos especiais, sem os quais sua resolução tornar-se-ia impossível.

1. Raciocínio Indireto: Algumas vezes é apropriado analisar o problema indiretamente. Para provar relações por contradição que P implica Q, supomos que P e Q são falsos e tentamos mostrar por que isso não pode acontecer. De certa forma temos de usar essa informação e chegar a uma contradição do que sabemos perfeitamente ser verdadeiro.

2. Indução Matemática: Para provar afirmações que envolvem um número inteiro positivo n, é freqüentemente útil usar o princípio que se segue.

Seja S_n uma afirmação sobre um número inteiro n. Suponha que:

a) S₁ é verdadeira.

b) S_k+1 é verdadeira sempre que S_k for verdadeira.

Então S_n é verdadeira para todo n positivo.

RAFAEL PAIXÃO

Dicas para sustentabilidade

Ecologia deixou de ser coisa de entusiastas e cientistas!
Lembre-se: sustentabilidade é o desenvolvimento que não compromete o futuro.

Aí vão as dicas:
1. Compre seu carro do tipo flex.
2. Faça a manutenção do seu carro para que ele emita menos gases.
3. Use seu carro com moderação. E dirija-o ecologicamente: sem aquelas aceleradas desnecessárias.
4. Compartilhe o seu carro com pessoas que vão à mesma região que você.
5. Não jogue lixo (latas, papéis, embalagens) na rua. Percorra a sua cidade de maneira amigável.
6. Desligue da tomada os aparelhos que ficam em stand by.
7. Compre eletrodomésticos mais eficientes. É possível reconhecê-los pelo selo PROCEL.
8. Use luz natural: abra janelas, cortinas e persianas.
9. Pense bem! Você realmente precisa de um freezer?
10. Troque as lâmpadas incandecentes por fluorescentes.
11. Use o varal e não a secadora.
12 Não use a mangueira para "varrer" a calçada.
13. Não use água de galão. Compre um filtro!
14. Reduza o consumismo.
15. Tenha muitas palntas em casa.
16. Não use adubos químicos!
17. Use a internet para pagar as suas contas.
18. Faça as suas compras perto de casa.
19. Prefira consumir alimentos locais.
20. Não jogue fora! Doe a quem precisa.
21. Leve a sua sacola (aquela de pano) para fazer compras.
22. Leve idéias sustentáveis para o seu emprego.
23. Não se desloque para resolver problemas: use o telefone e a internet.
24. Prefira um notebook ao PC convencional.
25. Prefira papel reciclado.
26. Não use aqueles copinhos plásticos. Leve a sua caneca personalizada para o trabalho.
27. Quando possível esuqeça o elevador.
28. Invista em causas nobres. Use seu dinheiro para o bem.
29. Cobre os representantes públicos que você elegeu! Use o telefone e a internet.
30. Plante árvores! Se você não tem o terreno, não tem problema! Peça e plante a árvore no de alguém.
31. Conscientize as pessoas da sua casa.
32. Convença um amigo! Estas causa são nobres. Ou, quem sabe, comece convencendo você mesmo.
33. Passe estas idéias adiante.

Se você tem dúvidas dos porquês dessas dicas, pergunte!
As respostas são interessantes e podem ter muita Matemática!

RAFAEL PAIXÃO

Barreiras epistêmicas

Em minha experiência como professor do ensino médio e cursos pré-vestibulares continuamente tivemos em mente a necessidade da demonstração e do embasamento teórico em nossas aulas. Deixar de transmitir conteúdos sem significado para a vida, incita aos educandos o desejo de aprender, pois:

“As necessidades cotidianas fazem com que os alunos desenvolvam uma inteligência essencialmente prática, que permite reconhecer problemas, buscar e selecionar informações, tomar decisões e, portanto, desenvolver uma ampla capacidade para lidar com a atividade matemática. Quando essa capacidade é potencializada pela escola, a aprendizagem apresenta melhor resultado” (PCN Matemática).

De maneira correlata, quando o educador instiga nos educandos o pensamento reducionista, faz com que os mesmos, quando se deparam com uma situação problema, simplifiquem-na ao extremo, até que o problema passe a representar um infinitésimo da realidade. Nós refutamos a idéia de indicar um conhecimento sem mostrar a sua origem, tendo em vista que compreendemos que o significado de teorias matemáticas estão em sua natureza lógico-descritiva.

Contudo, a realidade é complexa, o ideal não existe; e os educadores que fazem a simplificação da complexidade, tentam, frente à era planetária, inserir os educandos em um contexto falso e irreal, que é, por vezes, rejeitado pelos mesmos.

“Os desenvolvimentos próprios a nossa era planetária nos confrontam cada vez mais e de maneira cada vez mais inelutável com os desafios da complexidade” (Conforme EDGAR MORIN). Assim, percebe-se que o treinamento matemático que é utilizado hoje em dia, por alguns docentes, caminha por uma estrada antagônica àquela que a sociedade, científica e de senso comum, começa a trilhar. Ao educar uma criança ou adolescente, tem-se como objetivo o desenvolvimento de uma inteligência geral, que prepara o alunado para o cotidiano complexo, contextual, multidimensional e de concepção global.

Entendemos por treinamento matemático a estratégia de mostrar o como fazer, sem preocupar-se com o porquê fazer e quando se deve fazer. Sabemos que esta forma de educar gera barreiras epistêmicas. Estas barreiras epistêmicas provocam no alunado a utilização de conceitos matemáticos em momentos nos quais eles não se aplicam, sendo um exemplo prático a letra “b” do exercício quatro na figura.

Digitalização do caderno de uma aluna do 8º ano do ensino fundamental.

O aluno aprende simplificação algébrica no 8º ano do ensino fundamental e depois no estudo de funções no 1º ano do ensino médio é comum simplificações errôneas (veja segunda simplificação no exercício 4, letra b, figura acima) na qual há uma adição, pois, se os alunos aprenderam somente o como fazer então, têm barreiras epistêmicas em relação ao quando fazer, utilizando uma simplificação aplicável a um produto em uma adição.

EM "UMA INTRODUÇÃO AO ESTUDO DOS DETERMINANTES" QUE FOI MINHA MONOGRAFIA DE CONCLUSÃO DA GRADUAÇÃO.

RAFAEL PAIXÃO

Trocando idéias

A experimentação ou método científico não é um recurso estático, através do qual se insere o educando em um contexto previamente organizado pelo professor ou assistente de laboratório e que se tem um procedimento a seguir, sem variâncias. Assim precisamos extrair aspectos históricos, epistemológicos, semióticos, lógicos, filosóficos e analíticos de nossas aulas de Matemática.

A lógica geral dessa ciência leva-nos a uma introdução ao estudo histórico. O significado do referido estudo leva-nos a verificar a importância da História da Matemática como instrumento didático voltado à proposição de uma alternativa de ensino de Matemática visando minimizar as dificuldades encontradas por professores e alunos na relação ensino-aprendizagem.

Gostaria de propor atividades que resgatem aspectos históricos do desenvolvimento da teoria aqui descrita, como fonte de aprendizagem desse conhecimento matemático, visando discutir a importância do uso de tais atividades a partir de uma perspectiva investigatória de ensino de Matemática (Para tanto indico o livro Uma Introdução a História da Matemática, que foi escrito por Howard Eves e publicado pela Editora da Unicamp).

Contudo a utilização dessa perspectiva investigatória para o ensino, apoiada pela História, tendo em vista subsidiar o trabalho docente em sala de aula, requer outros conhecimentos e possibilidades em nossa práxis, ou seja, o professor não pode adentrar em sala de aula com uma aula preparada com os passos um, dois e subseqüentes.

O profissional que optar por explorar a Matemática por meio de uma perspectiva histórica deve ser um profissional preparado para o processo investigatório, bem como para o trabalho concomitante entre Matemática, História e Literatura. A nova práxis desse docente deve também modificar os padrões avaliatórios, privilegiando o exame de habilidades e competências (análise, síntese, aplicação, capacidade de interpretação espaço-temporal, dentre outras) que na maioria das vezes não são contempladas em uma prova de Matemática.

Esta questão da avaliação privilegiar, ou melhor, abarcar o exame de outras habilidades e competências pode ainda corroborar com inclusão no grupo social dos “bons e participativos[1]” alunos de Matemática outros sujeitos que poderão dar boa contribuição a análise histórica e cultural. Esta inclusão pode dar bons frutos mostrando algumas facetas importantes: O conhecimento matemático foi construído paulatinamente, os desenvolvimentos da tecnologia e da Matemática foram concomitantes (em relação ao espaço e ao tempo), a íntima ligação entre a Filosofia e a Matemática, dentre outras.Para isso, acredito que podemos adotar a conduta de orientador das atividades em que o aluno construa seu conhecimento partindo do próprio raciocínio e conhecimentos históricos, numa metodologia que priorize as experiências teóricas ou práticas conduzidas pelos alunos e orientadas pelo professor, a fim de formular conceitos ou propriedades e interpretar essas formulações visando aplicá-las na solução de problemas práticos que assim o exijam.

Quanto à linguagem matemática, percebo que o excesso de simbologia, freqüentemente, cria dificuldades desnecessárias para o aluno, chegando mesmo a impedir que ele compreenda a idéia representada pelo símbolo. Assim como, por exemplo, a proposição do enunciado de uma situação-problema pode prejudicar a compreensão do objetivo da mesma.

Estas dificuldades, que são geradas por uma apresentação inadequada da linguagem matemática, são lamentáveis, pois, esta linguagem foi desenvolvida justamente com a intenção oposta e a sua ligação com a língua materna deve ser um auxílio na compreensão das idéias por elas descritas.

A linguagem matemática desenvolveu-se para facilitar a comunicação do conhecimento matemático entre as pessoas e também tem, secundariamente, a função de contribuir com a propensão à abstração. Entretanto, quando abusamos do uso de símbolos e não nos preocupamos em trabalhar a compreensão dos mesmos, clareando o seu significado, conseguimos o efeito contrário: dificultamos o processo de aprendizagem e a comunicação em Matemática.

Acredito também que o ato educativo deve beneficiar-se da função comunicativa do ser humano, pois quando afirmamos que dois homens comunicam, consideramos que entre si tornam conhecimentos comuns, põem em comum, ou ainda, estabelecem comunidade. Por outro lado, podemos afirmar que estes homens transmitem ou transferem conhecimento um para o outro. A eficácia da comunicação é dada pela clareza que a linguagem estabelece entre a informação que é enviada e a que é recebida.

No primeiro sentido, o ato de comunicar o conhecimento está relacionado com partilhar enquanto que no segundo, aproxima-se de barganhar. Em uma aula de Matemática os alunos devem ser chamados a explicar as suas idéias e confrontá-las com as dos colegas. Os alunos estão agrupados em turmas com duas a quatro dezenas, e a aprendizagem não deve fazer-se no mais perfeito isolamento. Frente a esta proposta devemos repensar o que fazemos antes, durante e depois de uma aula; logo devemos repensar o papel da linguagem nesses diversos momentos.

Esta estreita ligação da linguagem aos processos de estruturação do pensamento é também assinalada em nossa pesquisa e não se trata de considerar esta construção de conceitos lógicos, mas sim a construção do logicismo. Ensinar a pensar matematicamente requer uma análise sobre a importância do obstáculo epistemológico e o papel do erro no desenvolvimento das ciências, pois ao aprofundar a noção de obstáculo epistemológico[2] é que se confere valor à história do pensamento científico.

Imaginar que o “espírito matemático” começa como uma aula, que é sempre possível reconstruir um conhecimento falho pela repetição da lição, que se pode fazer entender uma demonstração repetindo-a ponto por ponto da mesma maneira que anteriormente, à nossa concepção é um equívoco. Devemos levar em conta que o aluno entra na sala de aula com conhecimentos empíricos já constituídos ou em um processo de alienação à realidade, como é tão comum em nosso tempo.

Não se trata, portanto, de adquirir um conhecimento, mas sim de não seguir o estereótipo proposto por nossa sociedade. Derrubar os obstáculos já sedimentados pela vida cotidiana. O papel da construção do conhecimento, a extensão das idéias, para nós, consiste em um processo complexo embebido de desenvolvimento humano relacional, intelectual e comunicativo.

Podem nos auxiliar neste processo a interdisciplinaridade, a História da Matemática, o laboratório de Matemática, os espaços midiáticos e a educação pela pesquisa; que formam um ferramental inerente a Engenharia Didática aplicada à Matemática.

O desenvolvimento de uma Matemática embasada nestes conceitos é o que norteia minha prática docente. Creio que a geração e perpetuação do conhecimento matemático não podem dissociar-se da busca por justificativas. Os primeiros passos da elaboração dessa forma de percepção remontam às primeiras manifestações de conhecimento socialmente organizado por hominídeos, pois o ser humano sempre perguntou: por quê?

Encerro esta primeira conversa com intencionalidade de colocar em movimento – que nos desloca de uma posição de comodismo – o processo cognitivo matemático tem por si só um caráter transformador, que caracteriza uma convergência entre o saber e o fazer, ou seja, entre a ciência e a técnica, gerando novos sujeitos participativos – alunos e professores – que trazem em si, intrinsecamente, a busca pela sobrevivência e pela transcendência.

---

[1] Queremos aqui elencar os alunos que tem um bom rendimento em Matemática e que por esta razão são participativos e gostam das aulas.

[2] Esta noção de obstáculo epistemológico está presente principalmente em textos de didatas franceses sobre as suas pesquisas em Educação Matemática.

As idéias ligadas a esta noção foram introduzidas na Didática da Matemática por Brosseau na década de 70, inspirando-se em textos do filósofo francês Gaston Bachelard apresentados no final da década de 30.

Segundo Sonia Igliori “um obstáculo de origem epistemológica é verdadeiramente construtivo do conhecimento, é aquele do qual não pode escapar e que se pode em princípio encontrar na história do conceito”.

Esta noção está aplicada tanto na gênese de um dado conhecimento como no ensino ou evolução espontânea do aluno. É possível, portanto, abordar obstáculos epistemológicos a partir de uma perspectiva histórica ou a partir de erros inconvenientes e persistentes em alunos que se encontram em um processo de confronto.

ADAPTAÇÃO DO TEXTO "UMA INTRODUÇÃO AO ESTUDO DOS DETERMINATES: ASPECTOS ANALÍTICOS, HISTÓRICOS, EPISTEMOLÓGICOS E LINGÜÍSTICOS" QUE FOI MINHA MONOGRAFIA PARA CONCLUSÃO DA GRADUAÇÃO.

RAFAEL PAIXÃO